A. Lý Thuyết:

Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi
* f nghịch biến trên K nếu với mọi

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì với mọi
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì với mọi

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)

Định lý 2:
1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
* Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)

B. Bài Tập :

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy nhất
thuộc đoạn

Bài giải:
Xét hàm số liên tục trên đoạn
Ta có
Vì sinx > 0 nên
Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn
* Hàm số f liên tục trên đoạn, ta có , nên phương trình cho không có nghiệm
* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục
( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R
Bài giải:

Để hàm số đồng biến trên R thì
*
!/ m = -2 thì không thỏa
!!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa
*, khi đó để thì

Vậy hàm số đổng biến trên R

Bài tập 3: Cho hàm số : . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
*
* , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn


Bài tập tự luyện:
1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số có đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến?

Bài giải:
* Tập xác định D = R
* ; với
* Để hàm số đồng biến trên D khi

Bài tập 5:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng

Bài giải:
. Để hàm số đồng biến trong khoảng
PP1:

, do đó

PP2:

* m = 0 khi đó . Thế m = 0 có nhận không nhỉ ???
*

!/ Hàm số đồng biến trên D khi Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng

!!/ Giả sửthì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt
Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm



Bài tập tự luyện:
1/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?.
2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến ?.
3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm
4/ Cho hàm số . Tìm m để
5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng
6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng