hoc ! hoc nua ! hoc mai !

A. Lý Thuyết:

Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi $\blue \large x_1,x_2\in K , x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
* f nghịch biến trên K nếu với mọi $\blue \large x_1,x_2 \in K , x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì $\blue \large f ' (x) \geq 0$ với mọi $\blue \large x\in I$
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì $\blue \large f ' (x) \leq 0$ với mọi $\blue \large x\in I$

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm $\blue c \in(a,b)$
sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)

Định lý 2:
1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
* Nếu $\blue \large f ' (x ) \geq 0; \forall x \in I$ và $\blue \large f ' ( x ) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu $\blue \large f ' (x ) \leq 0 ; \forall x \in I$ và $\blue \large f ' ( x ) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu $\blue \large f ' (x ) = 0 ; \forall x \in I$ thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
* Nếu $\blue \large f ' ( x ) > 0 ( hoac f ' (x ) <0 )$ với mọi $\blue \large x \in (a,b)$ thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu $\blue \large f ' ( x ) = 0$ với mọi $\blue \large x \in (a,b)$ thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)

B. Bài Tập :

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi $\blue m \in (-1;1)$ phương trình $\blue \large sin^2x + cosx = m$ có một nghiệm duy nhất
thuộc đoạn $\blue [0; \pi]$

Bài giải:
Xét hàm số $\blue f(x)=\large sin^2x + cosx$ liên tục trên đoạn $\blue [0; \pi]$
Ta có $\blue f' (x) = sinx(2cosx - 1) , x \in (0; \pi)$
Vì sinx > 0 nên $\blue f ' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$
Hàm số đồng biến trên đoạn $\blue \large [0; \frac{\pi}{3}]$ và nghịch biến trên đoạn $\blue \large x \in [\frac{\pi}{3}, \pi]$
* Hàm số f liên tục trên đoạn $\blue \large x \in [0; \frac{\pi}{3}]$ , ta có $\blue \large 1 \leq f(x) \leq \frac{5}{4}$ , nên phương trình cho không có nghiệm $\blue m \in(-1;1)$
* Hàm số f liên tục trên đoạn $\blue \large x \in [\frac{\pi}{3}, \pi]$ ta có $\blue \large -1 \leq f(x) \leq \frac{5}{4}$ . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục
( lớp 11) , với mọi $\blue \large m \in (-1,1) \subset ( - 1; \frac{5}{4})$ , tồn tại một số thực $\blue \large c \in ( \frac{\pi}{3};\pi)$ sao cho f( c) = 0 , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn $\blue \large x \in [\frac{\pi}{3}, \pi]$ phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $\blue \large [0; \pi]$

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R $\blue \large y = \frac{1}{3}(m^2+2m)x^3 + mx^2 + 2x + 1 <br />$
Bài giải:
$\blue \large y' = (m^2+2m)x^2 + 2mx + 2$
Để hàm số đồng biến trên R thì $\blue \large y' \geq 0 ; \forall x$
* $\blue \large m^2 + 2m = 0 \Leftrightarrow \left\[\begin{m = - 2}\\{m = 0}$
!/ m = -2 thì $\blue \large y' = -4x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -2$ không thỏa
!!/ m = 0 thì $\blue \large y ' = 2 \geq 0$ đúng $\blue \forall x \in R$ . Vậy m = 0 thỏa
* $\blue \large m^2 + 2m \neq 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{m \neq - 2}\\{m \neq 0}$ , khi đó để $\blue \large y ' \ge 0 \forall x \in R$ thì $\blue \large \left\{\begin {m^2 + 2m >0}\\ {\Delta_{y'} \leq 0} \Leftrightarrow \left\{\begin {\left\[\begin {m > 0}\\{ m < -2 }}\\{\left\[\begin { m \leq - 4}\\{m \geq 0} \Leftrightarrow \left\[\begin { m > 0}\\{m\leq - 4}$

Vậy $\blue \large \left\[\begin { m \geq 0}\\{m \leq - 4}$ hàm số đổng biến trên R

Bài tập 3: Cho hàm số : $\blue \large y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(m - 1)x^2 - ( m - 1)x - 3$ . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
* $\blue \large y ' = x^2 - (m - 1)x - ( m - 1)$
* $\blue \large \Delta = m^2 + 2m + 5 > 0 \forall m$ , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt $\blue \large x_1; x_2 ( x_1 < x_2)$
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì $\blue \large y' \leq 0 ; \forall x sao cho x_1 < x< x_2$ thỏa mãn
$\blue \large |x_2 - x_1| = 5 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1.x_2 = 5\Leftrightarrow m^2 + 2m + 5 = 5 \Leftrightarrow \left\[\begin{m = 0}\\{ m = -2}$

Bài tập tự luyện:
1/Chứng minh rằng phương trình $\blue \large 2x^2\sqrt{x - 2} = 11$ có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số $\blue \large y = \frac{1}{3}(m - 1)x^3 + (m + 2)x^2 + (3m - 1)x - 2$ có đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số $\blue y = ( 2m + 3)sinx+ ( 2 - m) x$ luôn luôn đồng biến?

Bài giải:
* Tập xác định D = R
* $\blue y' = ( 2m + 3)cosx+ ( 2 - m) =( 2m + 3)t+ ( 2 - m) = f(t)$ ; với $\blue t = cosx ,\large t \in [-1;1]$
* Để hàm số đồng biến trên D khi $\blue \large \ y' \geq 0 , \forall x \in R \Leftrightarrow f(t) \geq 0 ; t \in [-1;1]\Leftrightarrow \left\{\begin{f(-1) \geq 0}\\{f(1) \geq 0 \Leftrightarrow - 5 \leq m \leq -\frac{1}{3}$

Bài tập 5:Cho hàm số $\blue \large y = \frac{1}{3}mx^3 + 2(m - 1)x^2 + (m - 1)x + m$ . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng $\blue \large (2, + \infty)$

Bài giải:
$\blue \large y' = mx^2 +4(m-1)x + m - 1$ . Để hàm số đồng biến trong khoảng $\blue \large (2, + \infty) \Leftrightarrow y' \geq 0 ; \forall x \in (2, + \infty) ( *)<br />$
PP1:
$\blue \large (*) \Leftrightarrow mx^2 +4(m-1)x + m - 1 \geq 0 ;\forall x \in (2, + \infty) \Leftrightarrow m \geq \frac{4x + 1}{x^2 + 4x + 1} ; \forall x \in (2, + \infty)$
$\blue \large f(x) = \frac{4x + 1}{x^2 + 4x + 1} ; \forall x \in (2, + \infty)\Rightarrow f'(x) < 0 ; \forall x \in (2, + \infty)$ , do đó $\blue \large m \ge {max}\limit_{x\in(2,+ \infty)} {f(x)} = f(2) \Leftrightarrow m \ge \frac {9}{13}$

PP2:

* m = 0 khi đó $\blue \large y' = 4x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4} \subset ( 2,+ \infty)$ . Thế m = 0 có nhận không nhỉ ???
* $\blue \large m \neq 0$
$\blue \large \Delta' = (m - 1)(3m-4)$
!/ Hàm số đồng biến trên D khi $\blue \large y' \ge 0 ; \forall x \in D \Leftrightarrow \left\{\begin{m > 0}\\{\Delta' \le 0} \Leftrightarrow 1 \le m \le \frac{4}{3} .$ Do đó với $\blue \large 1 \le m \le \frac{4}{3}$ thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng $\blue \large x \in (2, + \infty)$

!!/ Giả sử $\blue \large \Delta' = (m - 1)(3m-4) > 0$ thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt $\blue \large x_1, x_2 ; ( x_1< x_2 )$
Hàm số đồng biến trong khoảng $\blue \large x \in (2, + \infty)$ khi ta có hệ $\blue \large \left\{\begin{m > 0}\\{x_1<x_2\le 2 } \Leftrightarrow \left\{\begin{m > 0} \\{ \Delta' > 0}\\{my'(2) \ge 0}\\ {\frac{S}{2} - 2 < 0 \Rightarrow m= ??$ Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm

Bài tập tự luyện:
1/Định m để hàm số $\blue y = msinx + (2m -3)x + 2$ luôn luôn nghịch biến ?.
2/Định m để hàm số $\blue y = -(2m+1)cosx + (3m + 2)x$ luôn luôn đồng biến ?.
3/ Định m để hàm số $\blue \large y = \frac{1 - m}{3} x^3 - 2(2 - m )x^2 + 2(2 - m)x + 5$ luôn luôn giảm
4/ Cho hàm số $\blue \large y = 4x^3 + (m + 3)x^2 +ax$ . Tìm m để $\blue \large |y|\le 1 khi |x|\le 1$
5/ Định m để hàm số $\blue \large y = \frac{1}{3}mx^3 - (m - 1)x^2 + 3(m - 2) + \frac{1}{3}$ đồng biến trong khoảng $\blue \large (2, + \infty)$
6/ Định m để hàm số $\blue \large y = \frac{-2x^2 - 3x + m}{2x + 1}$ nghịch biến trong khoảng $\blue \large (-\frac{1}{2}, + \infty)$

hoc ! hoc nua ! hoc mai !

Thứ Tư, 2 tháng 12, 2009

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Bubbles

Giới thiệu về tôi

AddThis

Phú Cường - Quyền Lực Blog

Danh sách Blog của Tôi

Tìm kiếm Blog này

Người theo dõi

Lưu trữ Blog