Năng lượng dao động điều hòa

1. Động năng
- Là năng lượng sinh ra do sự chuyển động của vật, được tính theo công thức
2. Thế năng
a. Thế năng của con lắc lò xo (Thế năng đàn hồi)
- Là năng lượng sinh ra do sự đàn hồi của lò xo, được tính theo công thức  
b. Thế năng của con lắc đơn (Thế năng trọng trường)
- Là năng lượng sinh ra do trọng lực của vật năng, được tính theo công thức
Khi góc lệch α nhỏ thì có thể dùng công thức gần đúng
Thay
Vậy với con lắc đơn ta có công thức tính gần đúng thế năng: 3
3.Cơ năng trong dao động điều hòa
Cơ năng = Động năng + Thế năng        ,(với con lắc lò xo)
                           ,(với con lắc đơn)
Đặc biệt:
                   ,(với con lắc lò xo)
, (với con lắc đơn khi góc lệch lớn).
, (với con lắc đơn khi góc lệch nhỏ)
4. Sự biến thiên của Động năng và Thế năng:
Xét một vật dao động điều hòa với chu kỳ T, có phương trình dao động và phương trình vận tốc lần lượt là:
 Khi đó phương trình của Động năng là:

Đặt:
Khi đó Động năng biến thiên điều hòa với tần số góc ω_d = 2ω → biến thiên điều hòa với chu kỳ và tần số:

Tương tự ta cũng có phương trình của Thế năng:

Đặt:
Khi đó Thế năng điều hòa biến thiên với Tần số góc, tần số dao động và Chu kỳ dao động lần lượt là:

5. Đồ thị dao động của Động năng và Thế năng trong dao động điều hòa
Ta có:


Vẽ đồ thị ta được:

Nhận xét:
- Từ đồ thị ta thấy rằng cứ sau những khoảng thời gian là Δt = T/4 thì Động năng và Thế năng lại bằng nhau.
- Khi Động năng và Thế năng có mối quan hệ với nhau W_d = n.W_t, để tìm li độ hay tìm vận tốc thì ta thực hiện như sau.
• Tính li độ thì quy về theo Thế năng:

• Tính vận tốc thì quy về theo Động năng:

6. Ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang với cơ năng W = 0,02J. Lò xo có chiều dài tự nhiên là ℓ₀ = 20cm và độ cứng của lò xo k = 100 N/m. Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Từ công thức tính cơ năng ta có:
Do lò xo chuyển động theo phương ngang nên Δℓ₀ = 0 → Chiều dài cực đại của lò xo là ℓ_max = ℓ₀ + A = 22cm
Chiều dài cực tiểu của lò xo là ℓ_min = ℓ₀ - A = 18cm
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng có m = 100 g, k = 10 N/m, chiều dài tự nhiên của lò xo ℓ₀ = 30cm. Lấy g = 10 m/s².
a. Tính năng lượng dao động của vật biết rằng khi nó có li độ thì nó có vận tốc là 10 cm/s.
b. Tìm chiều dài của lò xo khi W_d = 3W_t
c. Tính động năng của vật khi lò xo có chiều dài 38,5cm.
d. Tính tốc độ v của vật khi W_d = W_t
* Hướng dẫn giải:
a. Khi lò xo treo thẳng đứng ta có:
Mà:
Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dao động:
Khi đó năng lượng dao động của vật là:
b. Khi W_d = 3W_t thì ta tính được li độ của vật:

Chiều dài tự nhiên của lò xo là 30cm và tại vị trí cân bằng nó đã giãn 10cm nên tại vị trí cân bằng thì lò xo có chiều dài 40cm.
Giả sử chọn chiều dương hướng xuống, khi x = 1,5cm thì lò xo dài 40 + 1,5 = 41,5cm còn khi vật có li độ x = -15cm thì lò xo có chiều dài là 40 - 1,5 = 38,5cm
c. Khi lò xo có chiều dài 38,5 cm thì nó có cách vị trí cân bằng 1,5 cm. Khi đó |x| = 1,5 cm. Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được tốc độ v của vật:

Khi đó động năng của vật là:
d. Khi W_d = W_t thì ta có:

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 0,314s. Khi vận tốc của vật có độ lớn 40 cm/s thì động năng bằng thế năng. Tính biên độ dao động của vật.
* Hướng dẫn giải:
Tần số góc
Khi động năng và thế năng bằng nhau ta có:

Áp dụng hệ thức liên hệ ta có:

Vậy biên độ dao động của vật là .
Ví dụ 4: Một con lắc lò dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc ω. Thế năng của vật gấp ba lần động năng khi tốc độ của vật có giá trị là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy khi thì thế năng gấp ba lần động năng.

Phương trình động lực học - Momen quán tính

1. Mômen lực:
· Mômen lực M của lực F đối với vật rắn có trục quay cố định là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay vật rắn quanh trục cố định đó của lực F, và đo bằng tích số lực và cánh tay đòn.
Biểu thức : M = ± F.d.
-TH1: M = +F.d thì mômen lực F làm vật rắn quay theo chiều dương.
-TH2: M = -F.d thì mômen lực F làm vật rắn quay theo chiều âm.
· Đơn vị: N.m
2. Mô men quán tính :
Mômen quán tính của chất điểm ( hay hệ chất điểm hặc vật rắn) đối với một trục đặc trưng cho mức quán tính (sức ì) của chất điểm ( hay hệ chất điểm hặc vật rắn) đó đối với chuyển động quay quanh trục đó.
+ TH1: Chất điểm: I = mr²
+ TH2: Hệ chất điểm:
+ TH3: một số vật rắn đồng chất có dạng hình học đối xứng đối với trục quay đi qua khối tâm:
- Vật rắn là vành tròn hoặc trụ rỗng bán kính R: I = mR²
- Vật rắn là đĩa tròn mỏng hoặc hình trụ đặc bán kính R:
- Vật rắn là thanh có chiều dài , tiết diện nhỏ:
- Vật rắn là khối cầu đặc bán kính R:
Chú ý : Từ biểu thức tính momen quán tính ta thấy momen quán tính I phụ thuộc vào khối lượng vật rắn (m) và sự phân bố khối lượng xa hay gần trục quay.
3. Định lý Stenơ:
Hệ thức liên hệ giữa mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay không đi qua khối tâm (I_(D))và trục quay đi qua khối tâm (I_(G)): I_(D) = I_(∆) + Md²
Trong đó: d là khoảng cách giữa hai trục quay (D) và trục quay (∆) đi qua khối tâm, M là khối lượng vật rắn.
Ví dụ : Áp dụng định lý Stenơ ta có thể tính mômen quán tính của một thanh đồng chất chiều dài , tiết diện nhỏ và có trục quay đi qua một đầu của thanh, khi đó .
4. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định:

5. Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1: Một đĩa tròn đồng chất có khối lượng m = 20kg, bán kính R = 20cm, trục quay là đối xứng. Khi đĩa đang đứng yên ta tác dụng vào nó một momen lực M = 10N.m thì tốc độ góc của đĩa đạt được sau 2s là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải: Do đĩa là tròn đặc nên ta có công thức tính momen quán tính của đĩa .
Từ phương trình động lực học vật rắn
Tốc độ góc của vật đạt được sau 2s là:
Ví dụ 2: Một đĩa đặc có bán kính 0,25m có thể quay quanh trục đối xứng đi qua tâm của nó. Một sợi dây mảnh, nhẹ được quấn quanh vành của đĩa. Người ta kéo sợi dây bằng một lực không đổi có giá trị 12N. Hai giây sau kể từ lúc bắt đầu tác dụng lực làm đĩa quay thi tốc độ góc của đĩa bằng 24rad/s. Tính:
a. Momen lực tác dụng lên đĩa.
b. Gia tốc góc của đĩa.
c. Gia tốc của đầu dây.
d. Góc quay được của đĩa.
e. Chiều dài đoạn dây kéo được.
Hướng dẫn giải: Đây là loại bài toán có liên quan đến momen quán tính, momen lực. Để làm tốt kiểu bài này chúng ta cần nhớ phương trình cơ bản của động lực học và công thức tính momen quán tính của một số vật đồng chất thường gặp.
a. Áp dụng công thức tính momen lực tác dụng M = F.d = 12.0,25 = 3(M.m)
b. Áp dụng công thức
c. Gia tốc góc của đầu dây chính là gia tốc tiếp tuyến của một điểm trên đĩa, được tính bởi công thức: a= r.γ = 0,25.12 = 3m/s²
d. góc quay được của đĩa:
e. Chiều dài đoạn dây kéo được chính là độ dài quãng đường mà vật quét được khi nó quay được góc φ = 24rad ở trên. Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn (Lượng giác 11) ta có s = r.φ = 0,25.24 = 6m
Ví dụ 3: Một đĩa đặc đồng chất, khối lượng 0,2kg và bán kính 10cm, có trục quay đi qua tâm, vuông góc với mặt phẳng đĩa. Ban đầu đĩa đang đứng yên, tác dụng vào đĩa một momen lực không đổi 0,02N.m. Tính quãng đường mà một điểm trên vành đĩa đi được sau 4s kể từ lúc tác dụng momen lực:
Hướng dẫn giải:
Momen quán tính của đĩa
Từ phương trình động lực học vật rắn
Góc mà đĩa quay được sau 4s là:
→Quãng đường mà một điểm trên vành đĩa đi được sau 4s là: s = ∆φ.R = 160.0,1 = 16m
Ví dụ 4: Một thanh đồng chất AB có chiều dài , khối lượng m có thể quay quanh xung quanh điểm A trong mặt phẳng thẳng đứng. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang sau đó buông ra, biết momen quán tính với A là . Tính gia tốc góc ban đầu của thanh.
Hướng dẫn giải: Ta có phương trình động lực học của thanh là:
Với F là lực tác dụng lên thanh, trong bài toán của chúng ta F là trọng lực của thanh nên F = P = mg
Ví dụ 5: Một bánh xe chịu tác dụng của momen lực M₁ không đổi. Tổng của momen lực M₁ và momen lực ma sát có giá trị bằng 24N.m. Trong 5s đầu tiên tốc độ góc của bánh xe biến đổi từ 0rad/s đến 10rad/s. Sau đó momen lực M₁ ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 50s. Giả sử momen lực ma sát là không đổi trong suốt thời gian bánh xe quay.
a. Tính momen quán tính của bánh xe đối với trục
b. Xác định giá trị của momen lực M₁
c. Tính số vòng tổng cộng mà bánh xe quay được.
Hướng dẫn giải :
a. Trong 5s đầu tiên tốc độ góc của bánh xe biến đổi từ 0rad/s đến 10rad/s nên ta tính được gia tốc góc của bánh xe:
Tổng các momen lực tác dụng lên bánh xe gồm momen lực M₁ và momen lực ma sát M_ms là: M = M₁+ M_ms có giá trị 24N.m. Từ đó momen quán tính của bánh xe là: 
b. Khi momen lực M₁ ngừng tác dụng thì bánh xe quay chậm dần dưới tác dụng của momen lực ma sát. Gia tốc góc của bánh xe trong quá trình này là: 
Từ đó momen lực ma sát:
Momen lực M₁ =
c. Khi biết ta tính góc mà bánh xe quay được thông qua công thức: 
Trong 5s đầu tiên góc mà bánh xe quay được là:
Trong 50s cuối cùng thì góc mà bánh xe quay được là:
Góc quay được tổng cộng của bánh xe là:
→ số vòng mà bánh xe quay được là  (vòng)
6. Bài tập tương tự luyện tập
Bài 1 : Một quả cầu đặc, đồng chất, khối lượng 1 kg, bán kính 10 cm. Quả cầu có trục quay cố định Δ đi qua tâm. Quả cầu đang đứng yên thì chịu tác dụng của một momen lực 0,1 N.m. Tính quãng đường mà một điểm ở trên quả cầu và ở xa trục quay của quả cầu nhất đi được sau 2s kể từ lúc quả cầu bắt đầu quay.
Bài 2 : Một đĩa đặc đồng chất, khối lượng 0,5kg và bán kính 10cm, có trục quay đi qua tâm, vuông góc với mặt phẳng đĩa. Ban đầu đĩa đang đứng yên, tác dụng vào đĩa một momen lực không đổi 0,04N.m. Tính góc mà đĩa quay được sau 3s kể từ lúc tác dụng momen lực.
Bài 3 : Một bánh xe nhận được gia tốc góc 5rad/s² trong 8s dưới tác dụng của momen ngoại lực và momen lực ma sát. Sau đó momen lực ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 10 vòng quay.
a) Tính gia tốc và thời gian từ lúc momen lực ngừng tác dụng đến lúc bánh xe dừng lại.
b) Momen quán tính của bánh xe đối với trục quay là 0,85kg.m².
Tính momen ngoại lực và momen lực ma sát tác dụng lên bánh xe